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已知:動點P(x,y)到點F(0,1)的距離比它到直線y+2=0的距離小1,
(Ⅰ)求點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)在直線y=-1上任取一點M作曲線C的兩條切線l1,l2,切點分別為A,B,在y軸上是否存在定點Q,使△ABQ的內切圓圓心在定直線n上?若存在,求出點Q的坐標及定直線n的方程;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)解法(一):設P(x,y),由條件得:
x2+(y-1)2
=|y+2|-1
,化簡可得結論;
解法(二):由題設發(fā)現:點P(x,y)在y=-2的上方.根據點P(x,y)到y(tǒng)=-2的距離比它到直線y=-1的距離多1,可得點P(x,y)到點F(0,1)的距離等于它到直線y=-1的距離,利用拋物線的定義,即可得到結論;
(Ⅱ)設出A,B的坐標,分別求出M的坐標,可得x1x2=-4.存在定點Q,使△ABQ的內切圓圓心在定直線n上,證明OQ平分∠AQB即可.
解答:解:(Ⅰ)解法(一):設P(x,y),由條件得:
x2+(y-1)2
=|y+2|-1
 …(2分)
∴x2+(y-1)2=(y+2)2-2|y+2|+1  …(3分)
 由條件知:y>-2,∴x2-2y=4y+4-2y-4,即x2=4y,
∴點P的軌跡C的方程為x2=4y;…(6分)
解法(二):由題設發(fā)現:點P(x,y)在y=-2的上方.
∵點P(x,y)到y(tǒng)=-2的距離比它到直線y=-1的距離多1…(2分)
∴點P(x,y)到點F(0,1)的距離等于它到直線y=-1的距離
∴曲線C是以F(0,1)為焦點,直線y=-1為準線的拋物線…(4分)
∴點P的軌跡C的方程為x2=4y…(6分)
(Ⅱ)設A(x1,
x12
4
),x1≠0,y′=
x
2
,∴kMA=
x1
2
,直線MA:y-
x12
4
=
x1
2
(x-x1)
…(7分)
令y=-1得:-1-
x12
4
=
x1x
2
-
x12
2
,∴
x1x
2
=
x12
4
-1∴x=
x1
2
-
2
x1
,∴M(
x1
2
-
2
x1
,-1)
…(8分)
B(x2,
x22
4
),x2≠0
,同理得:M(
x2
2
-
2
x2
,-1)
…(9分)
x1
2
-
2
x1
=
x2
2
-
2
x2
,(x1x2)
,∴
x1
2
-
x2
2
+
2
x2
-
2
x1
=0

1
2
(x1-x2)+
2(x1-x2)
x1x2
=0

∴x1x2=-4…(10分)
設直線AB:y=kx+b代入y=
x2
4
得:
x2
4
=kx+b∴x2-4kx-4b=0
,
∴x1x2=-4b=-4,x1+x2=4k,∴b=1…(11分)
存在點Q(0,-1),kAQ+kBQ=
x12
4
+1
x1
+
x22
4
+1
x2
=
x1
4
+
x2
4
+
x1+x2
x1x2
=k-
4k
4
=0
…(14分)
∴OQ平分∠AQB,∴存在點Q(0,-1),△ABQ的內心在定直線n:x=0上.…(15分)
點評:本題考查軌跡方程的求法,考查拋物線的定義,考查導數知識的運用,考查學生的計算能力,有難度.
練習冊系列答案
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在平面直角坐標系xOy中,已知動點P(x,y)(y≤0)到點F(0.-2)的距離為d1,到x軸的距離為d2,且d1-d2=2.
(I)求點P的軌跡E的方程;
(Ⅱ)若A、B是(I)中E上的兩點,
.
OA
.
OB
=-16
,過A、B分別作直線y=2的垂線,垂足分別P、Q.證明:直線AB過定點M,且
.
MP
.
MQ
為定值.

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x2
25
+
y2
16
=1
上,若F(3,0),|PF|=2,且M為PF中點,則|OM|=
 

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(Ⅰ)求曲線C的方程;
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PM
PN
=8
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