Question

對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（a，2a）、B（4a，4a）（其中a為正常數(shù)），
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)T（m，0）（m＞a），直線AT、BT與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A₁、B₁，當(dāng)m變化時(shí)，記所有直線A₁B₁組成的集合為M，求證：集合M中的任意兩條直線都相交且交點(diǎn)都不在坐標(biāo)軸上。

Answer 1

解：（1）當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)拋物線方程y²=2px，
∵，
∴p=2a，
∴y²=4ax；
當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)拋物線方程x²=2py，
∵，
∴方程無(wú)解，
∴拋物線不存在。
（2）設(shè)A₁（as²，2as）、B₁（at²，2at），T（m，0）（m＞a），
∵，
∴，
∴as²+（m-a）s-m=0，
∵（as+m）（s-1）=0，
∴，
∴A₁（，-2m），
∵，
∴，
∵2at²+（m-4a）t-2m=0，
∴（2at+m）（t-2）=0，
∴t=，
∴B₁（，-m），
∴的直線方程為y+2m=，
∵直線的斜率為在（a，+∞）單調(diào)，
∴所以集合M中的直線必定相交，
∵直線的橫截距為在（a，+∞）單調(diào)，縱截距為在（a，+∞）單調(diào)，
∴任意兩條直線都相交且交點(diǎn)都不在坐標(biāo)軸上。