Question

15．圓$ρ=\sqrt{2}（cosθ+sinθ）$的圓心的極坐標(biāo)是（1，$\frac{π}{4}$）．（ρ＞0，θ∈[0，2π））

Answer 1

分析 由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圓的直角坐標(biāo)方程為${x}^{2}+{y}^{2}-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y$=0，從而圓心的直角坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），由此能求出圓心的極坐標(biāo)．

解答 解：∵圓$ρ=\sqrt{2}（cosθ+sinθ）$，（ρ＞0，θ∈[0，2π））
∴${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρcosθ+\sqrt{2}ρsinθ$，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y$，即${x}^{2}+{y}^{2}-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y$=0，
∴圓心的直角坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$ρ=\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=1，$θ=\frac{π}{4}$，
∴圓心的極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{4}$）．
故答案為：（1，$\frac{π}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓心的極坐標(biāo)的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．