Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、函數(shù)f（x）一定存在極大值和極小值
• B、若f（x）在（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上是增函數(shù)，則x₂-x₁≥

  2 3

  3

• C、函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線與f（x）的圖象必有兩個(gè)不同公共點(diǎn)
• D、函數(shù)f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,閱讀型,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到單調(diào)區(qū)間，列出表格，逐一排除，得出答案．

解答： 解：∵f′（x）=3x²+2ax-1．
∴△=4a²+12＞0，
∴f′（x）=0有兩解，不妨設(shè)為x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：
①x=x₁時(shí)，函數(shù)f（x）取到極大值，x=x₂時(shí)，函數(shù)f（x）取到極小值，故選項(xiàng)A正確，
②函數(shù)f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函數(shù)，
x₂-x₁=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 a2+3

3

≥

2 3

3

，故選項(xiàng)B正確，
③∵f（-

2

3

a-x）+f（x）=

4a3

9

+

2a

3

，f（-

a

3

）=

2a3

9

+

a

3

，
∴f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），∴（-

a

3

，f（-

a

3

））為對(duì)稱中心，故選項(xiàng)D正確，
選項(xiàng)A，B，D都正確，利用排除法，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
即函數(shù)f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線與f（x）的圖象可以有一個(gè)不同公共點(diǎn)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線和單調(diào)區(qū)間、極值，是一道綜合題．