Question

【題目】如圖，已知平面平面，四邊形是正方形，四邊形是菱形，且，，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）．

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理推證；（2）借助題設(shè)條件，運(yùn)用三棱錐的體積公式建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)探求函數(shù)的變量之間的聯(lián)系分析探求最大值：

（1）證明：連接、相交于點(diǎn)．

因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以，

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面．

而平面，所以．

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以．

因?yàn)?/span>，所以平面．

因?yàn)?/span>、分別為、的中點(diǎn)，所以，則平面．

而平面，所以．

（2）解：在菱形中，由，得．　

又因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>平面，即平面，所以．

顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最大值2，此時(shí)，

即三棱錐的體積的最大值為．