Question

18．已知關(guān)于x的實系數(shù)方程x²+2ax+b=0在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一根，求：
（1）a²+b²的取值范圍；
（2）求|a+b-2|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系求出點（a，b）表示的區(qū)域，a²+b²表示點（a，b）到原點的距離的平方，求得它的范圍．
（2）根據(jù)$\frac{|a+b-2|}{{\sqrt{2}}}$表示點（a，b）到直線a+b-2=0的距離，求得可行域內(nèi)的點到直線a+b-2=0的距離的最大、最小值，可得$\frac{3}{{2\sqrt{2}}}＜\frac{|a+b-2|}{{\sqrt{2}}}＜\frac{3}{{\sqrt{2}}}$，
從而求得|a+b-2|的取值范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=x²+2ax+b，則有$\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＜0\\ f（2）＞0\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}b＞0\\ 2a+b+1＜0\\ 4a+b+4＞0\end{array}\right.$，
點（a，b）表示的區(qū)域為如圖陰影部分，點A的坐標為（-$\frac{3}{2}$，2）．
（1）a²+b²表示點（a，b）到原點的距離的平方，
∵$\frac{1}{2}＜\sqrt{{a^2}+{b^2}}＜\frac{5}{2}$，∴$\frac{1}{4}＜{a^2}+{b^2}＜\frac{25}{4}$．
（2）$\frac{|a+b-2|}{{\sqrt{2}}}$表示點（a，b）到直線a+b-2=0的距離，
點A到直線a+b-2=0的距離最小為$\frac{|-\frac{3}{2}+2-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$，
點（-1，0）到直線a+b-2=0的距離最大為$\frac{|-1+0-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
故有 $\frac{3}{{2\sqrt{2}}}＜\frac{|a+b-2|}{{\sqrt{2}}}＜\frac{3}{{\sqrt{2}}}$，∴$\frac{3}{2}＜|a+b-2|＜3$．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，簡單的線性規(guī)劃問題，屬于中檔題．