分析 (1)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出直線EC與平面B1BCC1所成角的正弦值.
(2)求出平面ABCD的一個法向量和平面AEF的一個法向量,利用向量法能求出二面角E-AF-B的余弦值.
解答 解:(1)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖
E(2,1,2),C(0,2,0),$\overrightarrow{EC}$=(-2,1,-2),
平面B1BCC1的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=(0,1,0),
設(shè)直線EC與平面B1BCC1所成角為θ,
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{9}}$=$\frac{1}{3}$,
∴直線EC與平面B1BCC1所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$.
(2)平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
設(shè)平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow{p}$=(x,y,z),
A(2,0,0),F(xiàn)(0,1,0),$\overrightarrow{AF}$=(-2,1,0),$\overrightarrow{AE}$=(0,1,2),
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AE}=y+2z=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AF}=-2x+y=0}\end{array}\right.$,令x=1,則$\overrightarrow{p}$=(1,2,-1),
設(shè)二面角E-AF-B的平面角為α,
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$.
∴二面角E-AF-B的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
點評 本題考查線面角的正弦值的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
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