Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

3

，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，使DE⊥EC．
（1）求證：BC⊥平面CDE；
（2）求證：FG∥平面BCD；
（3）求四棱錐D-ABCE的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知BC⊥CE，只需再證明BC垂直于與CE相交的一條直線即可，而根據條件容易證明DE⊥平面ABCE．從而可以證明BC⊥DE，而CE∩DE=E，所以可以證明BC⊥平面DCE．
（2）需要構造一個GF所在的平面，使得該平面與平面BCD；使用線面平行的定義或者面面平行的性質證明即可；
（3）由于在解決第一問的時已經證明了DE⊥平面ABCE，因此DE即為該四棱錐的高，求出底面ABCE的面積，代入椎體體積公式求即可．

解答：解：（1）證明：由已知得：
DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE．
∴DE⊥BC．又BC⊥CE，CE∩DE=E，
∴BC⊥平面DCE．
（2）證明：取AB中點H，連接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD．
又GH∩FH=H，
∴平面FHG∥平面BCD，
∴FG∥平面BCD（由線線平行證明亦可）．
（3）V=

1

3

×1×2×

3

=

2

3

3

．

點評：本題考查直線與平面的位置關系中的平行與垂直的證明，以及椎體體積的求法，在證明時要注意線線垂直與線面垂直的轉化，線面平行與面面平行的轉化，體現靈活的轉化思想．