【題目】如圖,在三棱柱中,,,,的中點,E是棱上一動點.

(1)若E是棱的中點,證明:平面;

(2)求二面角的余弦值;

(3)是否存在點E,使得,若存在,求出E的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

【答案】(1)詳見解析;(2);(3)不存在,理由詳見解析.

【解析】

1)取中點為,連結(jié),證明,再利用線面平行判定定理,即可證得結(jié)論;

2)先證明兩兩垂直,再建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,平面ABC的法向量為,再利用向量的夾角公式,即可得答案;

3)設(shè),由,解得與假設(shè)矛盾,從而得到結(jié)論.

(1)證明:取中點為,連結(jié),

中,因為的中點,

所以

又因為的中點,,

所以,

所以為平行四邊形

所以

又因為平面,

平面

所以平面

(2)連結(jié),

因為是等邊三角形,的中點,

所以

因為,

所以

因為平面平面,

平面平面,

平面,

所以平面

所以兩兩垂直.

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系

,,

,

設(shè)平面的法向量為,

,

,則,,

所以

平面ABC的法向量為,

又因為二面角為銳二面角,

所以二面角的余弦值為

(3),,

設(shè),

,

所以,,

所以,

假設(shè),

,解得,

這與已知矛盾.不存在點E.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在正實數(shù)上的函數(shù),其中表示不小于x的最小整數(shù),如,,當(dāng)時,函數(shù)的值域為,記集合中元素的個數(shù)為,則=____.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為.(為參數(shù))以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為.

1)求的直角坐標(biāo)和 l的直角坐標(biāo)方程;

2)把曲線上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍,縱坐標(biāo)伸長為原來的倍,得到曲線,上動點,求中點到直線距離的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),直線的普通方程為,設(shè)的交點為,當(dāng)變化時,記點的軌跡為曲線. 在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的方程為.

1)求曲線的普通方程;

2)設(shè)點上,點上,若直線的夾角為,求的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若恒成立,.的最大值;

2)若函數(shù)有且只有一個零點,且滿足條件的,使不等式恒成立,求實數(shù)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線,,圓.

1)當(dāng)為何值時,直線平行;

2)當(dāng)直線與圓相交于兩點,且時,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;

2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

1)若,證明在區(qū)間上沒有零點;

2)在恒成立,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義域為的函數(shù)滿足:對任何,都有,且當(dāng)時,.在下列結(jié)論:

1)對任何,都有;(2)任意,都有

3)函數(shù)的值域是;

4函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件是存在,使得

其中正確命題是(

A.1)(2B.1)(2)(3C.1)(3)(4D.2)(3)(4

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案