Question

函數(shù)f（x）=lnx-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

8

時，證明：存在x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=f（1）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)f（x）=lnx-ax²的定義域為（0，+∞）；再求導(dǎo)f′（x）=

1

x

-2ax=

-2ax2+1

x

；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）可證明f（x）在（2，+∞）上是減函數(shù)，且f（2）=ln2-

1

2

＞0，x→+∞時，f（x）→-∞；從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx-ax²的定義域為（0，+∞）；
∵f′（x）=

1

x

-2ax=

-2ax2+1

x

；
∴①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0時有0＜x＜

2a

2a

，
f′（x）＜0時有x＞

2a

2a

；
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

2a

2a

），單調(diào)減區(qū)間為（

2a

2a

，+∞）；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a=

1

8

時，f（x）=lnx-

1

8

x²，
f（1）=0-

1

8

=-

1

8

；
f′（x）=-

(x+2)(x-2)

4x

；
故f（x）在（2，+∞）上是減函數(shù)，
又∵f（2）=ln2-

1

2

＞0，且x→+∞時，f（x）→-∞；
故存在x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=f（1）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．