Question

如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．設(shè)為線段的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若圓在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，試判斷直線與軌跡的位置關(guān)系．

Answer 1

（1）;（2）相切

試題分析：（1）由于點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng), 為線段的中點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,以及點(diǎn)P在圓上,即可得到結(jié)論.
（2）由（1）得到軌跡的方程為橢圓方程.切線PE的斜率有兩種情況：斜率不存在則可得直線與軌跡的位置關(guān)系為相切.直線斜率存在則假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo),寫出切線方程,以及點(diǎn)N的坐標(biāo),再寫出直線MN的方程.聯(lián)立橢圓方程,根據(jù)判別式的值即可得到結(jié)論.
（1）設(shè)，則．點(diǎn)在圓上，，
即點(diǎn)的軌跡的方程為．                4分
（2）解法一：
（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或．顯然與軌跡相切；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，
因?yàn)橹本�與圓相切，所以，即．      7分
又直線的斜率等于，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
所以直線的方程為，即.          9分
由得．
．故直線與軌跡相切．
綜上（i）（2）知，直線與軌跡相切.                 13分
解法二：設(shè)（），則．              5分
（i）當(dāng)時(shí)，直線的方程為或，此時(shí)，直線與軌跡相切；
（2）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．
令，則．，又點(diǎn)，
所以直線的方程為，即．      9分
由得即．
．所以，直線與軌跡相切．
綜上（i）（2）知，直線與軌跡相切．                 13分