Question

點P是雙曲線（a＞0，b＞0）左支上的一點，其右焦點為F（c，0），若M為線段FP的中點，且M到坐標原點的距離為，則雙曲線的離心率e范圍是

1. A.
   （1，8]
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   （2，3]

Answer 1

B
分析：直接利用雙曲線的定義，結合三角形的中位線定理，推出a，b，c的關系，求出雙曲線的離心率．
解答：設雙曲線的左焦點為F₁，因為點P是雙曲線（a＞0，b＞0）左支上的一點，
其右焦點為F（c，0），若M為線段FP的中點，且M到坐標原點的距離為，
由三角形中位線定理可知：OM=PF₁，PF₁=PF-2a，PF≥a+c．
所以，1．
故選B．
點評：本題是中檔題，考查雙曲線的基本性質，找出三角形的中位線與雙曲線的定義的關系，得到PF≥a+c．是解題的關鍵．