Question

（本小題滿分14分）已知關(guān)于x的函數(shù).

（I）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（II）求函數(shù)有極小值，試求a的取值范圍；

（III）若在區(qū)間上，函數(shù)不出現(xiàn)在直線的上方，試求a的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（III）的最大值為0．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解；（Ⅱ）求導(dǎo)，討論二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)與兩根的大小進(jìn)行求解；（III）構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.

試題解析：（Ⅰ）

又

所以在點(diǎn)P（1,0）處的切線方程為. ４分

（Ⅱ） ５分

令

(i)時(shí)無(wú)解，無(wú)極小值；

(ii) 時(shí)，，所以有兩解，且；

時(shí)，

時(shí)，

此時(shí)，無(wú)極小值. ７分

(iii) 時(shí), 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015063006072118748748/SYS201506300607241095449010_DA/SYS201506300607241095449010_DA.024.png">,的對(duì)稱軸為,要使函數(shù)有極小值,則即 或

此時(shí)有兩解，不妨設(shè)設(shè)， 則 時(shí)，

時(shí)，此時(shí)，有極小值. ９分

綜上所述，. 10分

（Ⅲ）由題意，

即 11分

下證：

記

則

時(shí)，

時(shí)，

即 12分

(i) 時(shí)，

(ii) 時(shí)，取，

則

與題意矛盾.

故的最大值為0.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的極值與最值；3.分類討論思想.