Question

在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，是動(dòng)圓上一點(diǎn).

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)曲線上的三點(diǎn)與點(diǎn)的距離成等差數(shù)列，若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為，求直線的斜率；

（3）若直線與和動(dòng)圓均只有一個(gè)公共點(diǎn)，求、兩點(diǎn)的距離的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】本試題主要考查了軌跡方程的求解和橢圓的定義，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

解：（1）由已知，得，…………………………1分.

將兩邊平方，并化簡(jiǎn)得，      …………………………3分.

故軌跡C₁的方程是。               ………………4分.

（2）由已知可得，，，

因?yàn)?|BF|=|AF|=|CF|，所以

即得，   ①                           …………………………5分.

故線段AC的中點(diǎn)為，其垂直平分線方程為， ②

    …………………………6分.

因?yàn)锳,C在橢圓上，故有，，兩式相減，

得：    ③

將①代入③，化簡(jiǎn)得，    ④ ………………………7分.

將④代入②，并令y=0得，x=1/2，即T的坐標(biāo)為(1/2,0)�！�……………………8分.

所以.                             ………………………9分.

設(shè)、，直線的方程為

因?yàn)镻既在橢圓C₁上又在直線上，從而有

將（1）代入（2）得         ………10分.

由于直線PQ與橢圓C₁相切，故

從而可得，             （3）

同理，由Q既在圓上又在直線上，可得

，                  （4）……………………12分

由（3）、（4）得，

所以 ……………………13分.

即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

故P,Q、兩點(diǎn)的距離的最大值. …………………………14分.