已知點(diǎn)M(0,-1),直線l:y=mx+1與曲線C:ax2+y2=2(m,a∈R)交于A、B兩點(diǎn).
(1)當(dāng)m=0時,有∠AOB=
π
3
,求曲線C的方程;
(2)當(dāng)實數(shù)a為何值時,對任意m∈R,都有
OA
OB
為定值T?指出T的值;
(3)設(shè)動點(diǎn)P滿足
MP
=
OA
+
OB
,當(dāng)a=-2,m變化時,求點(diǎn)P的軌跡方程;
(4)是否存在常數(shù)M,使得對于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M
恒成立?如果存在,求出的M得最小值;如果不存在,說明理由.
分析:(1)直線方程為y=1,代入曲線C:ax2+y2=2求得A,B的坐標(biāo),利用 ∠AOB=
π
3
可求曲線的方程;
(2)將直線l:y=mx+1與曲線C:ax2+y2=2聯(lián)立,化簡得(a+m2)x2+2mx-1=0,假設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo),利用
OA
OB
=T
是定值,可求a及T;
(3)將條件
MP
=
OA
+
OB
轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的形式,從而可表達(dá)點(diǎn)P的從而,消去m得點(diǎn)P的軌跡方程;
(4)由(2)知:
OA
OB
=
m 2-1
m2+a
+1
,求得對于任意的a∈(0,1),m∈R,它的最大值小于2,故取M的值大于2時,都有
OA
OB
<M
恒成立,故存在常數(shù)M,使得對于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M
恒成立且M得最小值為:2.
解答:解:(1)由題意,直線方程為y=1,代入曲線C:ax2+y2=2可得 A(-
1
a
,1)
B(
1
a
,1)

∠AOB=
π
3
,∴tan300 =
1
a
,∴a=3
∴曲線C的方程為3x2+y2=2
(2)將直線l:y=mx+1與曲線C:ax2+y2=2聯(lián)立,化簡得(a+m2)x2+2mx-1=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則知 x1+x2=-
2m
m2+a
,x1x2=
-1
m2+a
,
∴x1x2+y1y2=
-1
m2+a
+(mx1+1)(mx2+1)=
m 2-1
m2+a
+1

對任意m∈R,都有
OA
OB
=T
成立.
得x1x2+y1y2=T定值,
∴可有a=-1,此時T=2;
(3)由(2)知 x1+x2=
2m
m2-2
,y1+y2=
4m2-4
m2-2

設(shè)P(x,y),則(x,y+1)=(x1+x2,y1+y2
x=-
2m
m2-2
,y=-
m2+2
m2-2

消去m得:(y-2)2-2x2=1,此即為點(diǎn)P的軌跡方程;
(4)由(2)知:
OA
OB
=
m 2-1
m2+a
+1
,
對于任意的a∈(0,1),m∈R,它的最大值小于2,
故取M的值大于2時,都有
OA
OB
<M
恒成立,
故存在常數(shù)M,使得對于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M
恒成立,
M得最小值為2.
點(diǎn)評:本題的可得時直線與圓錐曲線的綜合問題,解答關(guān)鍵是直線與曲線方程聯(lián)立解決位置關(guān)系問題,計算量大,有難度.
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13
x3-4x+4
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n
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雙曲線C與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1有相同的焦點(diǎn),直線y=
3
3
x為C的一條漸近線.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知點(diǎn)M(0,1),設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn),Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),求
MP
MQ
的范圍.

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(1)當(dāng)m=0時,有∠AOB=
π
3
,求曲線C的方程;
(2)當(dāng)實數(shù)a為何值時,對任意m∈R,都有
OA
OB
=-2
成立.
(3)設(shè)動點(diǎn)P滿足
MP
=
OA
+
OB
,當(dāng)a=-2,m變化時,求|OP|的取值范圍.

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