【題目】已知函數(shù).
(1)若,且在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在實數(shù),使得函數(shù)在上的最小值為1?若存在,求出實數(shù)的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在實數(shù),的值為.
【解析】
試題分析:(1),由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以在區(qū)間上恒成立,即在上恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,因此;(2)假設(shè)存在實數(shù)使得在上最小值為,那么一定要滿足,由此限定出,又根據(jù)第(1)問時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,但是不合題意,所以,令得的增區(qū)間為;令得的減區(qū)間為,于是,化簡整理可得,即,于是設(shè),則上式即為,構(gòu)造,通過判斷函數(shù)的單調(diào)性來計算時的值,然后求出的值.
試題解析:(1),
由已知在時恒成立,即恒成立,
分離參數(shù)得,右邊,所以正實數(shù)的取值范圍為.
(2)假設(shè)存在這樣的實數(shù),則在時恒成立,且可以取到等號,故,即,故,解得.
從而這樣的實數(shù)必須為正實數(shù),當(dāng)時,由上面的討論知在上遞增,
,此時不合題意,故這樣的必須滿足,
此時:令得的增區(qū)間為;令得的減區(qū)間為.
故,
整理得,
即,
設(shè),
則上式即為,構(gòu)造,則等價于,
由于為增函數(shù),為減函數(shù),故為增函數(shù),
觀察知,故等價于,與之對應(yīng)的,
綜上符合條件的實數(shù)是存在的,即.
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【題目】在直角坐標系中,已知曲線(為參數(shù)),在以為極點, 軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線,曲線.
(1)求曲線與的交點的直角坐標;
(2)設(shè)點, 分別為曲線上的動點,求的最小值.
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【題目】已知直線經(jīng)過點A,求:
(1)直線在兩坐標軸上的截距相等的直線方程;
(2)直線與兩坐標軸的正半軸圍成三角形面積最小時的直線方程.
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),,.
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)討論函數(shù)的極小值;
(3)若對任意的,總存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】根據(jù)某電子商務(wù)平臺的調(diào)查統(tǒng)計顯示,參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖.
(1)已知、,三個年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列,求,的值;
(2)該電子商務(wù)平臺將年齡在之間的人群定義為高消費人群,其他的年齡段定義為潛在消費人群,為了鼓勵潛在消費人群的消費,該平臺決定發(fā)放代金券,高消費人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費人群每人發(fā)放80元的代金券.已經(jīng)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購物者中抽取了10人,現(xiàn)在要在這10人中隨機抽取3人進行回訪,求此三人獲得代金券總和的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知四棱柱的底面是邊長為2的菱形,且,⊥平面,,設(shè)為的中點.
(1)求證:⊥平面;
(2)點在線段上,且平面,求平面和平面所成銳角的余弦值.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為正方形, 為直角三角形, ,且.
(1)證明:平面平面;
(2)若AB=2AE,求異面直線BE與AC所成角的余弦值.
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【題目】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,
(1)求a與b的夾角θ; (2)求|a+b|;
(3)若=a, =b,求△ABC的面積.
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【題目】設(shè)為數(shù)列的前項和,對任意的,都有,數(shù)列滿足, .
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項公式;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)求數(shù)列的前項和.
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