Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，x∈R，a為常數(shù)；已知f（x）為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）若對(duì)任意t∈[1，2]有f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a的值，檢驗(yàn)即可；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性得到m≥$\frac{1}{{2}^{t-1}}$-1，t∈[1，2]，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）由f（0）=0得：a=1，
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
于是f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)；
證明：（2）對(duì)任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{•2}^{{x}_{1}}（1{-2}^{{x}_{2}{-x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$＞0，1-${2}^{{x}_{2}{-x}_{1}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
由定義知：f（x）是R上的增函數(shù)；
解：（3）∵f（m•2^t-2）+f（2^t）≥0，
∴f（m•2^t-2）≥-f（2^t）=f（-2^t），
由（2），f（x）是增函數(shù)，m•2^t-2≥-2^t，
即m≥$\frac{1}{{2}^{t-1}}$-1，t∈[1，2]，
∴m≥0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．