Question

【選修4-2　矩陣與變換】
設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)P（1，1），Q（2，-1）分別變換成點(diǎn)P₁（2，3），Q₁（4，-3）．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出矩陣M，然后利用特征多項(xiàng)式建立方程求出它的特征值，最后分別求出特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩陣M的逆矩陣，然后利用點(diǎn)在矩陣M^-1的作用下的點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)代入橢圓方程求出新的曲線方程．

解答：解（Ⅰ）由條件得矩陣M=

2    0 0    3

，
它的特征值為2和3，對(duì)應(yīng)的特征向量為

1 0

及

0 1

；
（Ⅱ）M-1=

1 2   0 0     1 3

，
任意選取橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上的一點(diǎn)P（x，y），
它在矩陣 M^-1對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)镻'（x′，y′），
則有

1 2   0 0     1 3

 

x   y

=

x′   y′

，故 

x=2x′ y=3y′

．
又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓

x2

4

+

y2

9

=1上，所以x'²+y'²=1．
∴橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查矩陣變化以及逆矩陣的求法問(wèn)題，屬于綜合性的問(wèn)題，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但在分析上有一定的難度，屬于中檔題．