Question

已知函數(shù)f（x）=asinx-cos²x+a-

3

a

+1，a∈R，a≠0．
（1）若對(duì)任意x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范圍；
（2）若a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角不等式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）函數(shù)f（x）=asinx-cos²x+a-

3

a

+1=(sinx+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

．對(duì)a分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）利用（1）的討論及其存在的意義進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，解出即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=asinx-cos²x+a-

3

a

+1=sin²x+asinx+a-

3

a

=(sinx+

a

2

)2+a-

3

a

-

a2

4

．
①當(dāng)-

a

2

≥1，a≤-2時(shí)，當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（x）取得最大值，∴1-a+a-

3

a

≤0，解得0＜a≤3，應(yīng)該舍去．
②當(dāng)-

a

2

≤-1，即a≥2時(shí)，當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）取得最大值，∴1+a+a-

3

a

≤0，解得-

3

2

≤a≤1，應(yīng)該舍去．
③當(dāng)-1＜-

a

2

＜1且a≠0，即-2＜a＜2，且a≠0時(shí)，由上面可知：

0＜a≤3 - 3 2 ≤a≤1

，解得0＜a≤1．
（2）a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，
由上面的②可知：當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（x）取得最小值，
∴1-a+a-

3

a

≤0，解得0＜a≤3，又a≥2，
∴2≤a≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的單調(diào)性與有界性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．