Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=x²-4x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求導，討論a的取值，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先確定g（x）的取值范圍，求出最大值，將問題轉(zhuǎn)化為較簡單的恒成立問題，再由單調(diào)性求a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）的定義域為（0，+∞）；
f′（x）=

1+ax

x

，
①當a≥0時，f′（x）=

1+ax

x

＞0，
則函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當a＜0時，x∈（0，-

1

a

）時，f′（x）=

1+ax

x

＞0，
則函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）在（0，-

1

a

）上單調(diào)遞增；
x∈（-

1

a

，+∞）時，f′（x）=

1+ax

x

＜0，
則函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）在（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減．
綜上所述，
當a≥0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-

1

a

）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）．
（2）∵g（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2在[0，1]上單調(diào)遞減，
則-1≤g（x₂）≤2，
則問題轉(zhuǎn)化為，
對任意x₁∈（0，+∞），都有f（x₁）＜2成立．
①當a≥0時，上式顯然不成立；
②當a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，-

1

a

）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）．
則f（-

1

a

）=ln（-

1

a

）+a•（-

1

a

）＜2；
解得a＜-e^-3．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的求法，最值的求法及恒成立問題的處理方法，屬于難題．