定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an+1=2an2+2an,其中n為正整數(shù).
(1)設(shè)bn=2an+1,證明:數(shù)列{bn}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lgbn}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”{bn}的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項及Tn關(guān)于n的表達式;
(3)記cn=,求數(shù)列{cn}的前n項之和Sn,并求使Sn>2008的n的最小值.
【答案】分析:(1)依據(jù)“平方遞推數(shù)列”定義,結(jié)合條件an+1=2an2+2an,可證數(shù)列{bn}是“平方遞推數(shù)列”,進而有l(wèi)gbn+1=2lgbn.從而可證數(shù)列{lgbn}為等比數(shù)列;
(2)由(1)可得an=(52n-1-1),對Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1)兩邊取對數(shù),可求得Tn=52n-1
(3)cn=2-,Sn=2n-2+2.要使Sn>2008,則有n+>1005,從而可求n的最小值.
解答:解:(1)由條件an+1=2an2+2an,得2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2
∴{bn}是“平方遞推數(shù)列”.∴l(xiāng)gbn+1=2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴=2.
∴{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)∵lg(2a1+1)=lg5,∴l(xiāng)g(2an+1)=2n-1?lg5,∴2an+1=,∴an=-1).
∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)==(2n-1)lg5.
∴Tn=52n-1
(3)cn====2-
∴Sn=2n-[1++++]=2n-=2n-2[1-]=2n-2+2
由Sn>2008得2n-2+2>2008,n+>1005,
當(dāng)n≤1004時,n+<1005,當(dāng)n≥1005時,n+>1005,∴n的最小值為1005.
點評:本題考查新定義,將數(shù)列放到新情境中,關(guān)鍵是正確理解題意,挖掘問題的本質(zhì)與隱含.
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定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是“平方數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(shè)(1)中“平方數(shù)列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項及Tn關(guān)于n的表達式.
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項之和Sn,并求使Sn>4020的n的最小值.

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(2012•石景山區(qū)一模)定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項及Tn關(guān)于n的表達式.
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項之和Sn,并求使Sn>2011的n的最小值.

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定義:若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n,都有|an+1|+|an|=d(d為常數(shù)),則稱{an}為“絕對和數(shù)列”,d叫做“絕對公和”,已知“絕對和數(shù)列”{an}中,a1=2,“絕對公和”d=2,則其前2012項和S2012的最小值為( 。

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定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=
A
2
n
則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”,已知數(shù)列{an}中,a1=2,點{an,an+1}在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n的正整數(shù).
(1)證明數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項及Tn關(guān)于n的表達式;
(3)記bn=log2an+1Tn,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn,并求使Sn>2008的n的最小值.

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(2007•長寧區(qū)一模)定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+4x+2的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)判斷數(shù)列{an+2}是否為“平方遞推數(shù)列”?說明理由.
(2)證明數(shù)列{lg(an+2)}為等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項.
(3)設(shè)Tn=(2+a1)(2+a2)…(2+an),求Tn關(guān)于n的表達式.

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