Question

5．雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的焦點(diǎn)是F₁、F₂，且點(diǎn)P是雙曲線上的一點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60°，求三角形F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 利用雙曲線方程中系數(shù)的幾何意義得到||PF₁|-|PF₂||=6①，結(jié)合余弦定理推知即${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-|{P{F_1}}||{P{F_2}}|=100$②，根據(jù)①²-②得|PF₁||PF₂|=64．所以由三角形的面積公式進(jìn)行解答即可．

解答 解：由題意得a=3，b=4，
∴c²=a²+b²=25，
∴c=5，
∵||PF₁|-|PF₂||=6，①
又${|{{F_1}{F_2}}|^2}={|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-2|{P{F_1}}||{P{F_2}}|COS∠{F_1}P{F_2}$，
即${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-|{P{F_1}}||{P{F_2}}|=100$，②
由①²-②得|PF₁||PF₂|=64．
∴${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{1}{2}|{P{F_1}}||{P{F_2}}|sin∠{F_1}P{F_2}=\frac{1}{2}×64×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=16\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出|PF₁||PF₂|的值，是解題的關(guān)鍵．