Question

已知兩定點(diǎn)E（-

2

，0），F(xiàn)（

2

，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足

PE

•

PF

=0，由點(diǎn)P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點(diǎn)M滿足

PQ

=

2

MQ

，點(diǎn)M的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

2

2

，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定P的軌跡方程，再根據(jù)M，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，弦長公式，結(jié)合距離，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（m，n），則
∵兩定點(diǎn)E（-

2

，0），F(xiàn)（

2

，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足

PE

•

PF

=0，
∴（-

2

-m，-n）•（

2

-m，-n）=0，
∴m²+n²=2
設(shè)M（x，y），則
∵由點(diǎn)P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點(diǎn)M滿足

PQ

=

2

MQ

，
∴P（x，

2

y）
∴x²+2y²=2
∴曲線C的方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）①若直線l垂直于x軸，此時(shí)|AB|=

3

． …（5分）
②若直線l不垂直于x軸，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
則原點(diǎn)O到直線l的距離為

|m|

1+k2

=

2

2

，整理可得2m²=1+k²．…（6分）
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意可得△＞0，
則x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2(m2-1)

1+2k2

．
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

•

(1+k2)(1+2k2-m2)

1+2k2

…（8分）
∵2m²=1+k²，
∴2 （1+k²）（1+2k²-m²）=（1+k²）（2+4k²-2m²）=（1+k²）（1+3k²）≤（1+2k²）²，
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)1+k²=1+3k²，即k=0時(shí)成立．
即2

2

•

(1+k2)(1+2k2-m2)

1+2k2

≤2．
所以k=0時(shí)，|AB|取得最大值2．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查代入法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．