分析 (Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),和函數(shù)的零點(diǎn)存在定理,分類討論,即可k的取值的集合;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)記F(x)=axex-2lnx-2x-2,求導(dǎo),再構(gòu)造函數(shù)G(x)=axex-2,確定函數(shù)的單調(diào)性,求出即可證明結(jié)論.
解答 解:(Ⅰ)$f'(x)=\frac{1-kx}{x}$
①k≤0時(shí),f'(x)>0,則f(x)在 (0,+∞)上單調(diào)遞增.
而f(ek-2)=k-2-kek-2+1=k(1-ek-2)-1≤-1<0,f(1)=1-k>0,
故f(x)在(ek-2,1)上存在唯一零點(diǎn),滿足題意;
②k>0時(shí),令f'(x)>0得$x<\frac{1}{k}$,則f(x)在$({0,\frac{1}{k}})$上單調(diào)遞增;
令f'(x)<0得$x>\frac{1}{k}$,則f(x)在$({0,\frac{1}{k}})$上單調(diào)遞減;
若$f({\frac{1}{k}})=0$,得k=1,顯然滿足題意;
若$f({\frac{1}{k}})>0$,則0<k<1,而$f({\frac{1}{e}})=\frac{-k}{e}<0$,
又$f({\frac{4}{k^2}})=2ln\frac{2}{k}-\frac{4}{k}+1=2({ln\frac{2}{k}-\frac{2}{k}})+1$,
令h(x)=lnx-x+1,則$h'(x)=\frac{1-x}{x}$,
令h'(x)>0,得x<1,故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;
令h'(x)<0,得x>1,故h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減;
故h(x)≤h(1)=0,則$h({\frac{2}{k}})=ln\frac{2}{k}-\frac{2}{k}+1<0$,即$ln\frac{2}{k}-\frac{2}{k}<-1$,
則$f({\frac{4}{k^2}})=2ln\frac{2}{k}-\frac{4}{k}+1=2({ln\frac{2}{k}-\frac{2}{k}})+1<-1<0$.
故f(x)在$({\frac{1}{e},\frac{1}{k}})$上有唯一零點(diǎn),在$({\frac{1}{k},\frac{4}{k^2}})$上有唯一零點(diǎn),不符題意.
綜上,k的取值的集合為{k|k≤0或k=1}.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=“,
而$\frac{4}{a}x+1>1$,故$ln({\frac{4}{a}x+1})<\frac{4}{a}x+1-1=\frac{4}{a}x$,
則k=1時(shí),ag(x)-2f(x)=axex-aln($\frac{4}{a}$x+1)-2lnx+2x-2>axex-a•$\frac{4}{a}$x+2x-2=axex-2x-2,
記F(x)=axex-2lnx-2x-2,則$F'(x)=({x+1})({a{e^x}-\frac{2}{x}})=\frac{x+1}{x}({ax{e^x}-2})$,
令G(x)=axex-2,則G'(x)=a(x+1)ex>0,故G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
而G(0)=-2<0,$G({\frac{2}{a}})=2({{e^{\frac{2}{a}}}-1})>0$,故存在${x_0}∈({0,\frac{2}{a}})$,使得G(x0)=0,
即$a{x_0}{e^{x_0}}-2=0$.
則x∈(0,x0)時(shí),G'(x)<0,故F'(x)<0;
x∈(x0,+∞)時(shí),G'(x)>0,故F'(x)>0.
則F(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
故$F(x)≥F({x_0})=a{x_0}{e^{x_0}}-2{x_0}-2ln{x_0}-2=-2({{x_0}+ln{x_0}})$=$-2ln({{x_0}{e^{x_0}}})=-2ln\frac{2}{a}=2lna-2ln2$.
故ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性,以及不等式的證明,關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于難題.
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A. | (e,+∞) | B. | (-∞,e) | C. | (-∞,$\frac{1}{e}$) | D. | [0,e) |
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A. | 8 | B. | 9 | C. | 10 | D. | 11 |
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