Question

20．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，b=a-2e^a，c+d=4，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　�。�

• A． 16
• B． 18
• C． 20
• D． 22

Answer 1

分析 所求表達(dá)式的最值，看作已知直線上的點(diǎn)與函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的距離的平方，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值與已知直線斜率相等，轉(zhuǎn)化為平行線之間的距離的最值的平方即可．

解答 解：（a-c）²+（b-d）²看作直線上的點(diǎn)（c，d）與函數(shù)的圖象的點(diǎn)（a，b）的距離的平方，
轉(zhuǎn)化為平行線之間的距離的平方．
d=4-c的斜率是-1，
由b=a-2e^a，可得b′=1-2e^a=-1，解得a=0．當(dāng)a=0時(shí)，b=-2，
d=4-c看作直線y=4-x，
過切點(diǎn)（0，-2）的直線且與直線y=4-x平行的切線方程為y=-x-2．
由平行線的距離公式可得d=$\frac{|4-（-2）|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（3$\sqrt{2}$）²=18．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，直線與函數(shù)的圖象的轉(zhuǎn)化，平行直線間的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．