Question

10．用“轉移代入法”解以下各題：
（1）已知點A在圓x²+y²=16上移動，P（x，y）是連結點M（8，0）和點A的線段的中點，求點P的軌跡方程；
（2）已知圓x²+y²=9上的定點P（0，3）及動點Q，延長弦PQ至R，使$\frac{PQ}{QR}$=$\frac{1}{3}$，求點R的軌跡方程；
（3）已知定點A（2，0）及圓x²+y²=1上的動點Q，∠AOQ的角平分線交AQ于點P（O為坐標原點），求動點P的軌跡方程；
（4）已知點A（-1，0）與點B（1，0），C是圓x²+y²=1上的動點，連結BC并延長到點D，使|CD=|BC|，求AC與OD（O為坐標原點）的交點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），由中點坐標公式得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+8=2x}\\{{y}_{1}+0=2y}\end{array}\right.$，進一步得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-8}\\{{y}_{1}=2y}\end{array}\right.$，代入x²+y²=16，得（2x-8）²+（2y）²=16，化簡則可求出點P的軌跡方程；
（2）設R（x，y），Q（x₁，y₁）（y₁≠3），由已知P和$\frac{PQ}{QR}$=$\frac{1}{3}$，得$\overrightarrow{QR}=3\overrightarrow{PQ}$，即（x-x₁，y-y₁）=3（x₁，
y₁-3），則$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{1}=3{x}_{1}}\\{y-{y}_{1}=3{y}_{1}-9}\end{array}\right.$，進一步得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x}{4}}\\{{y}_{1}=\frac{y+9}{4}}\end{array}\right.$，代入x²+y²=9化簡整理即可得到點R的軌跡方程；
（3）設點Q的坐標為（x，y），點P的坐標為（x₀，y₀），由三角形內角平分線定理寫出方程組，解出x₀和y₀，代入已知圓的方程即可．此求軌跡方程的方法為相關點法；
（4）先設出相應的坐標，然后用要求的點的坐標表示出已知軌跡方程的圖象上的點的坐標，再代入已知的軌跡方程，即可求出點P的橫縱坐標的方程．本題宜先借且圖象分析其幾何 特征，將幾何特征進行正確轉化．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+8=2x}\\{{y}_{1}+0=2y}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-8}\\{{y}_{1}=2y}\end{array}\right.$，
代入x²+y²=16，得（2x-8）²+（2y）²=16，即（x-4）²+y²=4．
∴點P的軌跡方程是（x-4）²+y²=4；
（2）設R（x，y），Q（x₁，y₁）（y₁≠3），又P（0，3），
由$\frac{PQ}{QR}$=$\frac{1}{3}$，得$\overrightarrow{QR}=3\overrightarrow{PQ}$，即（x-x₁，y-y₁）=3（x₁，y₁-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{1}=3{x}_{1}}\\{y-{y}_{1}=3{y}_{1}-9}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x}{4}}\\{{y}_{1}=\frac{y+9}{4}}\end{array}\right.$，代入x²+y²=9得：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{（y+9）^{2}}{16}=9$（y≠3）；
（3）在△AOQ中，∵OP是∠AOQ的平分線
∴$\frac{|AP|}{|QP|}=\frac{|OA|}{|OQ|}=2$，
設P點坐標為（x，y），Q點坐標為（x₀，y₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2+2{x}_{0}}{3}}\\{y=\frac{2{y}_{0}}{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3x-2}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{3y}{2}}\end{array}\right.$，
∵Q（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上運動，∴x₀²+y₀²=1，
即$（\frac{3x-2}{2}）^{2}+（\frac{3y}{2}）^{2}=1$，
∴$（x-\frac{2}{3}）^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$；
（4）設動點P（x，y），由題意可知P是△ABD的重心，故連接AD．
由A（-1，0），B（1，0），令動點C（x₀，y₀），則D（2x₀-1，2y₀），
由重心坐標公式：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+1+（2{x}_{0}-1）}{3}}\\{y=\frac{2{y}_{0}}{3}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3x+1}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{3y}{2}（{y}_{0}≠0）}\end{array}\right.$，
代入x²+y²=1，整理得所求軌跡方程為（x+$\frac{1}{3}$）²+y²=$\frac{4}{9}$（y≠0）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，訓練了代入法．在用此法時，注意一些點的取舍，是中檔題．