Question

【題目】對關(guān)于的方程有近似解，必修一課本里研究過‘二分法’.現(xiàn)在結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種方法‘牛頓切線法’.對曲線，估計(jì)零點(diǎn)的值在附近，然后持續(xù)實(shí)施如下‘牛頓切線法’的步驟：

在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；

在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；

在處作曲線的切線，交軸于點(diǎn)；

得到一個數(shù)列，它的各項(xiàng)就是方程的近似解，按照數(shù)列的順序越來越精確.請回答下列問題：

（1）求的值；

（2）設(shè)，求的解析式（用表示）；

（3）求該方程的近似解的這兩種方法，‘牛頓切線法’和‘二分法’，哪一種更快？請給出你的判斷和依據(jù).（參照值：關(guān)于的方程有解）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）牛頓法更快，理由見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)題意，求函數(shù)求導(dǎo)解得切線斜率，再結(jié)合點(diǎn)斜式求得切線方程，即可容易得到結(jié)果；

（2）求出在處的切線方程，則滿足切線方程即可；

（3）根據(jù)牛頓法和二分法的操作步驟，即可展開運(yùn)算，從而進(jìn)行比較.

（1）因?yàn)?/span>，故可得，

則，

故可得在處的切線方程為，

整理得，令，則.

根據(jù)題意，則.

（2）由（1）中所求，

可得，

故可得在處的切線方程為

，

又因?yàn)?/span>滿足切線方程，

故可得

解得.

故.

（3）根據(jù)（1）和（2）中所求，

用牛頓法經(jīng)過1次運(yùn)算，可得近似解，

用牛頓法經(jīng)過次運(yùn)算，可得近似解

用牛頓法經(jīng)過3次運(yùn)算，可得近似解

經(jīng)過3次運(yùn)算，牛頓法求得的近似解精確到了；

若采用二分法，選定初始區(qū)間為，

因?yàn)?/span>，經(jīng)過一次運(yùn)算，近似解為，

因?yàn)?/span>，經(jīng)過二次運(yùn)算，近似解為，

因?yàn)?/span>，經(jīng)過三次運(yùn)算，近似解為，

經(jīng)過3次運(yùn)算，二分法求得的近似解才精確到.

不難發(fā)現(xiàn)，牛頓法相對二分法要更加快速