Question

7．如圖，E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，直線EF∥CB，交AD的延長(zhǎng)線于F，F(xiàn)G切圓于G．
（1）求證：∠AEF=∠EDF；
（2）設(shè)EF=6，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用切割線定理可得FG²=FD•FA，利用EF=FG，可得$\frac{EF}{FD}$=$\frac{FA}{EF}$，從而可得△EFD∽△AFE，由此能證明∠AEF=∠EDF
（2）由△DFE∽△EFA，得EF²=FA•FD．由FG是圓的切線，得FG²=FA•FD．由此能求出FG的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）∵FG與圓O相切于點(diǎn)G，∴FG²=FD•FA，
∵EF=FG，EF²=FD•FA，
∴$\frac{EF}{FD}$=$\frac{FA}{EF}$，
∵∠EFD=∠AFE，∴△EFD∽△AFE．
∴∠AEF=∠EDF．
（2）由（1）知△DFE∽△EFA，∴$\frac{EF}{FA}$=$\frac{FD}{EF}$，即EF²=FA•FD．
∵FG是圓的切線，
∴FG²=FA•FD．
∴FG²=EF²，
∵EF=6，∴FG=EF=6．

點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng)：本題考查切割線定理，考查三角形相似，考查圓周角，屬于中檔題．