在長方體中，，，為中點.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得∥平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由.
（Ⅰ）先證平面（Ⅱ）（Ⅲ）的長.

試題分析：（Ⅰ）證明：連接∵是長方體，∴平面，又平面 ∴    
在長方形中， ∴     
又∴平面，    
而平面∴      
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則

,  
設(shè)平面的法向量為，則    令，則  ,
       
所以 與平面所成角的正弦值為                
（Ⅲ）假設(shè)在棱上存在一點，使得∥平面.
設(shè)的坐標為，則 因為 ∥平面
所以 ，即， ，解得，        
所以 在棱上存在一點，使得∥平面,此時的長. 
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成的角、三角函數(shù)等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，
PA=BC=1，PD=AB=,E、F分別為線段PD和BC的中點．

（Ⅰ） 求證：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）在線段BC上是否存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°？若存在，試確定G的位置；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，二面角的棱上有C、D兩點，線段AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于CD，已知AC=2，BD=3， AB=6，CD=，則這個二面角的大小為(   )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF//AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（1）求證：NC∥平面MFD；
（2）若EC=3，求證：ND⊥FC;
（3）求四面體NFEC體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在Rt中， ，．D、E分別是上的點，且．將沿折起到的位置，使，如圖2．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值；

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M、N分別是AB、PC的中點，且.證明：平面PAD⊥平面PDC.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知集合={直線}，={平面}，．若，給出下列四個命題：
①  ② ③ ④ 其中所有正確命題的序號是         .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知是三個不重合的平面，a，b是兩條不重合的直線，有下列三個條件：①②③如果命題且_______，則為真命題，則可以在橫線處填入的條件是（  ）
A．①或②B．②或③C．①或③ D．只有②

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖。在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中點。

（I）求證：A1B∥平面AMC1；
（II）求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）試問：在棱A1B1上是否存在點N，使AN與MC1成角60°？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由。

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