【題目】如圖,MN分別是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的邊BCCD的中點(diǎn),將正方形沿對(duì)角線AC折起,使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi),則在翻折過(guò)程中,有以下結(jié)論:

①異面直線ACBD所成的角為定值.

②存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直.

③存在某個(gè)位置,使得直線MN與平面ABC所成的角為45°.

④三棱錐M-ACN體積的最大值為.

以上所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.

【答案】①③④

【解析】

設(shè)中點(diǎn),連接,,得到平面,從而可證①正確;假設(shè),從而得到平面,與已知矛盾,從而證明②錯(cuò)誤,根據(jù),得到與平面所成的角等于與平面所成的角,即,根據(jù)的范圍,從而證明③正確;,從而得到體積最大的情況,求出最大值,可得④正確.

設(shè)中點(diǎn),連接,

正方形,,,

所以,

平面,,

所以平面

平面,所以

即異面直線所成的角為定值.

故①正確.

,而平面,

所以平面,

平面,所以,

中,,

所以不可能為直角,故假設(shè)錯(cuò)誤,

所以②錯(cuò)誤.

因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn),所以

所以與平面所成的角等于與平面所成的角,

在平面的射影在上,

所以與平面所成的角,

,所以一定存在某個(gè)位置滿(mǎn)足,

即存在某個(gè)位置,使得直線MN與平面所成的角為45°.

故③正確;

,底面

所以當(dāng)平面平面時(shí),到平面的距離最大,

此時(shí)三棱錐的體積最大,

,

所以此時(shí),

故④正確.

故答案為:①③④

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2

4

6

8

10

3

6

7

10

12

1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程,并估計(jì)當(dāng)時(shí), 的值;

2)將表格中的數(shù)據(jù)看作五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則從這五個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)抽取2個(gè)點(diǎn),求恰有1個(gè)點(diǎn)落在直線右下方的概率.

參考公式: .

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