Question

16．實(shí)數(shù)x，y滿足條件$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥m}\end{array}}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值與最小值的差為2，則m的值為2．

Answer 1

分析 作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥m}\end{array}}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的差為2，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥m}\end{array}}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，
此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{y=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4-m}\\{y=m}\end{array}\right.$即A（4-m，m），
此時(shí)z=2×（4-m）+m=8-m，
當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，
此時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{y=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y=m}\end{array}\right.$，
即B（m-1，m），此時(shí)z=2×（m-1）+m=3m-2，
∵目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的差為2，
∴8-m-3m+2=2，
即m=2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．