Question

已知可行域

y≥0 x-y+2≥0 x+y-2≤0

的外接圓C與x軸交于點(diǎn)A₁、A₂，雙曲線(xiàn)E以線(xiàn)段A₁A₂為實(shí)軸，離心率e=

6

2

．則圓C的方程是

 

；雙曲線(xiàn)E的方程是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，作出可行域

y≥0 x-y+2≥0 x+y-2≤0

，求出三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得這是一個(gè)等腰直角三角形的區(qū)域，由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得其外接圓的圓心與半徑，進(jìn)而可得其方程，又有圓C與x軸交于點(diǎn)A₁、A₂，可得A₁、A₂的坐標(biāo)，可得a的值；且已知雙曲線(xiàn)的離心率，可得c的值，進(jìn)而有雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，可得b的值，即可得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：根據(jù)題意，作出可行域

y≥0 x-y+2≥0 x+y-2≤0

，
設(shè)其交點(diǎn)分別為A（0，2），B（-2，0），C（2，0）；
分析可得，△ABC是等腰直角三角形，且BC是斜邊；
其外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)，即原點(diǎn)，半徑為斜邊的一半，即2；
故這個(gè)圓的方程為x²+y²=4；
其與x軸交于點(diǎn)A₁、A₂，就是B、C兩點(diǎn)，
則雙曲線(xiàn)E的實(shí)軸端點(diǎn)為（-2，0），（2，0）；
則a=2，
其離心率e=

6

2

，故c=

6

；
則b=

2

；
其焦點(diǎn)在x軸上，
故其方程為

x2

4

-

y2

2

=1；
故答案為：x²+y²=4；

x2

4

-

y2

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的求法，如定義法、待定系數(shù)法．