Question

如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點，又二面角P—CD—B為45°.
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）求證：平面PEC⊥平面PCD；
（3）設(shè)AD=2，CD=2,求點A到平面PEC的距離.

Answer 1

（1）（2）證明略，（3）1

(1) 取PC的中點G，

連接EG、FG，
∵F為PD的中點，
∴GFCD.
∵CDAB，又E為AB的中點，
∴AE GF.
∴四邊形AEGF為平行四邊形.
∴AF∥GE，且AF平面PEC，因此AF∥平面PEC.
(2)  PA⊥平面ABCD，
則AD是PD在底面上的射影.又ABCD為矩形，
∴CD⊥AD，則CD⊥PD.因此CD⊥AF，
∠PDA為二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°.
F為Rt△PAD斜邊PD的中點，
AF⊥PD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD.
由（1）知AF∥EG.∴EG⊥平面PCD.
∵EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.
（3） 由（1）（2）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，過F作FH⊥PC交PC于H，則FH⊥平面PEC.
∴FH的長度為F到平面PEC的距離，
即A到平面PEC的距離.
在△PFH與△PCD中，∠P為公共角，
∠FHP=∠CDP=90°，
∴△PFH∽△PCD，∴=.
∵AD=2，PF=，PC===4，
∴FH=×2=1.
∴A到平面PEC的距離為1.