對(duì)于任意正整數(shù)n，證明：2(
n+1
-1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：證明題,綜合法
分析：先利用放縮法證明2（
k+1
-
k
）＜
1
k
＜2(
k
-
k-1
)，再利用疊加法，即可得出結(jié)論．
解答： 證明：∵2（
k+1
-
k
）=
2
k+1
+
k
＜
2
2
k
=
1
k
＜
2
k
+
k-1
=2（
k
-
k-1
）
∴2（
k+1
-
k
）＜
1
k
＜2(
k
-
k-1
)．
∴2（
2
-1）＜1＜2（1-0），
2（
3
-
2
）＜
1
2
＜2（
2
-1），
…
2（
n+1
-
n
）＜
1
n
＜2（
n
-
n-1
）
上面式子疊加即得結(jié)論2(
n+1
-1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＜2
n
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查放縮法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知方程x2+2x-a=0，
（1）若方程在x∈[-2，1]內(nèi)只有一解，求a的取值范圍；
（2）若方程在x∈[-2，1]內(nèi)有兩解，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為
x=acosφ
y=bsinφ
（a＞b＞0，φ為參數(shù)），已知曲線C上的點(diǎn)M（1，
3
2
）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=
π
3
．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
π
2
）在曲線C上，求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：
n
k=1
1
k2
＜
5
3
，（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
ax2+x-a，x∈[
2
，2]，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）求函數(shù)的最大值g（a）；
（2）若對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，不等式g（a）≥λg（
1
a
）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈R均滿足：f(x)+f(y)=2f(
x+y
2
)，且f（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）在R上的單調(diào)性；
（3）若f（1）=1，且不等式f（-k•2x）+f（9+4x）≥2對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：函數(shù)f（x）與實(shí)數(shù)m的一種符號(hào)運(yùn)算為：m*f（x）=f（x）[f（x+m）-f（x）]，已知：f（x）=
1
2
x2-3x-
3
4
，g（x）=4*f（x）+
7
2
x2．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在x∈[0，2]上，g（x）＞2a-3恒成立，試求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2+Dx-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x-y+4=0對(duì)稱．
（1）求圓C的半徑；
（2）若OP⊥OQ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求PQ方程；
（3）直線l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0被圓C截得弦長(zhǎng)最短時(shí)，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=3cosxcosx的最小正周期是
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案