Question

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x）=f（2-x），且x∈[0，1]，f（x）=x³，以下命題中：
①f（x）的圖象關于x=1對稱，
②f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，
③f（x）的周期為4，
④方程f（x）=

1

2

在區(qū)間[0，2014]上有1008個根． 
一定成立的有：

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可知f（-x）=-f（x）；f（x）=f（2-x），可變換得f（1-x）=f（1+x），
f（2+x）=f（-x）=-f（x）
即f（x+4）=f（x）可判斷③①正確，
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）與y=

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在一個周期內(nèi)有2個交點，
503個周期，共503×2個，而[0，2]上有2個，可知總共有1008個，④正確

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
∵f（x）=f（2-x）
∴f（1-x）=f（1+x），f（2+x）=f（-x）=-f（x）
即f（x+4）=f（x）
周期為4，對稱軸x=1，
根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）與y=

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2

在一個周期內(nèi)有2個交點，
2014÷4=503×4+2
所以交點個數(shù)為503×2+2=1008，
故答案為：①③④

點評：本題考察了函數(shù)性質(zhì)，方程的根與函數(shù)的交點問題，綜合性較強，注意解析式的靈活運用．