【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整數(shù)a的最小值．

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，

∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；


（2）解：令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，

∴g′（x）= ．

當(dāng)a≤0時(shí)，∵x＞0，∴g′（x）＞0，則g（x）是（0，+∞）上的遞增函數(shù)．

又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；

當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）= ．

令g′（x）=0，得x= ，∴當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，g′（x）＜0．

因此，g（x）在（0， ）上是增函數(shù)，在（ ，+∞）上是減函數(shù)．

故函數(shù)g（x）的最大值為g（ ）= ≤0．

令h（a）= ．

則h（a）在（0，+∞）上是減函數(shù)，

∵h(yuǎn)（1）=﹣2＜0，

∴當(dāng)a≥1時(shí)，h（a）＜0，∴整數(shù)a的最小值為1．


【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），進(jìn)一步求出f（1），代入直線方程的點(diǎn)斜式，化簡可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，求其導(dǎo)函數(shù)g′（x）= ．可知當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）是（0，+∞）上的遞增函數(shù)．結(jié)合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）= ．求其零點(diǎn)，可得g（x）在（0， ）上是增函數(shù)，在（ ，+∞）上是減函數(shù)．得到函數(shù)g（x）的最大值為g（ ）= ≤0．令h（a）= ．由單調(diào)性可得h（a）在（0，+∞）上是減函數(shù)，結(jié)合h（1）＜0，可得整數(shù)a的最小值為1．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有半徑為R、圓心角（∠AOB）為90°的扇形材料，要裁剪出一個(gè)五邊形工件OECDF，如圖所示．其中E，F(xiàn)分別在OA，OB上，C，D在 上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．記∠COD=2θ，五邊形OECDF的面積為S．
（1）試求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求S的最大值．

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【題目】已知函數(shù)f（x）= ，其中m為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為3x+3y﹣4=0，求m的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且 ．
（1）求A的大��；
（2）若 ，D是BC的中點(diǎn)，求AD的長．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x3+1+a（ ≤x≤e，e是自然對數(shù)的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[0，e3﹣4]
B.[0， +2]
C.[ +2，e3﹣4]
D.[e3﹣4，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=|cosx|sinx，給出下列四個(gè)說法： ① ；
②函數(shù)f（x）的周期為π；
③f（x）在區(qū)間 上單調(diào)遞增；
④f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對稱
其中正確說法的序號是（ ）
A.②③
B.①③
C.①④
D.①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB= ，AC∩BD=O，且PO⊥平面ABCD，PO= ，點(diǎn)F，G分別是線段PB，PD上的中點(diǎn)，E在PA上，且PA=3PE．
（Ⅰ）求證：BD∥平面EFG；
（Ⅱ）求直線AB與平面EFG的成角的正弦值；
（Ⅲ）請畫出平面EFG與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟．

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【題目】已知橢圓E的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M 在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P（﹣4，0），直線y=kx+1與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，若直線PA，PB均與圓x2+y2=r2（r＞0）相切，求k的值．

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【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ=2cosθ，曲線C2：ρ=（ρcosθ+4）cosθ．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，曲線C的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）． （Ⅰ）求C1 ， C2的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）C與C1 ， C2交于不同四點(diǎn)，這四點(diǎn)在C上的排列順次為H，I，J，K，求||HI|﹣|JK||的值．

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