Question

5．以下選項正確的是③④．
 ①方程y=kx+2可表示經(jīng)過點（0，2）的所有直線
②過點P（3，-4），且截距相等的直線方程為x+y-1=0
③函數(shù)y=$\sqrt{{x^2}+1}$+$\sqrt{{x^2}-4x+13}$的最小值為2$\sqrt{5}$
④若直線m被兩平行線l₁：x-y+1=0與l₂：x-y+3=0所截得的線段長為2$\sqrt{2}$，則m的傾斜角可以是15°或75°
⑤點P（4，-2）與圓x²+y²=4上任一點連線段的中點軌跡方程為（x-2）²+（y-1）²=1．

Answer 1

分析 根據(jù)斜截式的適用范圍，可判斷①；根據(jù)過原點的直線兩截距也相等，可判斷②；求出函數(shù)的最小值，可判斷③；求出直線m的傾斜角，可判斷④；求出軌跡方程，可判斷⑤．

解答 解：①方程y=kx+2可表示經(jīng)過點（0，2）且斜率存在的直線，不包括y軸，故錯誤；
②過點P（3，-4），且截距相等的直線方程為x+y-1=0，或4x+3y=0，故錯誤；
③函數(shù)y=$\sqrt{{x^2}+1}$+$\sqrt{{x^2}-4x+13}$表示動點P（x，0）到兩定點A（0，1）和B（2，-3）的距離和，
當P落在AB與x軸的交點（$\frac{1}{2}$，0）處時，取最小值2$\sqrt{5}$，故正確；
④平行線l₁：x-y+1=0與l₂：x-y+3=0的傾斜角為45°，且距離為$\sqrt{2}$
若直線m被兩平行線l₁：x-y+1=0與l₂：x-y+3=0所截得的線段長為2$\sqrt{2}$，
則m與l₁的夾角為30°，則m的傾斜角可以是15°或75°，故正確；
⑤點P（4，-2）與圓x²+y²=4上任一點連線段的中點M的坐標設為（x，y），
圓x²+y²=4上對應點設為（a，b），
則a=2x-4，b=2y+2，則（2x-4）²+（2y+2）²=4，
故M點的軌跡方程為（x-2）²+（y+1）²=1．故錯誤；
故答案為：③④．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了直線方程，直接的傾斜角，軌跡方程等知識點，難度中檔．