Question

已知y軸右側(cè)一動(dòng)圓與一定圓外切，也與y軸相切.

  （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C；

  （2）過(guò)點(diǎn)T（－2，0）作直線l與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，求一點(diǎn)，使得 是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。

Answer 1

（1）動(dòng)點(diǎn)C₁的軌跡C是以（0，0）為頂點(diǎn)，以（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線，除去原點(diǎn).

（2）E點(diǎn)坐標(biāo)為（10,0）

解析:

（1）由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)C₁到定點(diǎn)（2,0）與到定直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以定點(diǎn)（2,0）為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線。所以點(diǎn)M的軌跡方程為

       又點(diǎn)C₁在原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)圓不存在，所以，動(dòng)點(diǎn)C₁的軌跡C是以（0，0）為頂點(diǎn)，以

（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線，除去原點(diǎn).

（2）設(shè)直線……①

       設(shè)①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得

，

       所以，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

       而

若x軸上存在一點(diǎn), 使△AEB是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

       則，且 ,直線EF的方程為：

       令得E點(diǎn)坐標(biāo)為，則

=, 所以 解得 ，

則E點(diǎn)坐標(biāo)為（10,0）