Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（2ax-3），其中a為常數(shù)．
（ I）若a≥0，求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)；
（ II）若函數(shù)g（x）=g（x）+f′（x），x∈[0，1]，在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（ I）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，要證函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，只要其導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（-∞，0）上小于0即可；
（ II）對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的極值，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和g（x）在x=0處取得最大值，這個(gè)條件求出a的范圍；

解答：解：（ I）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x²在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=6ax²-6x=6ax（x-

1

a

），x＜0，∴f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，
綜上得，當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)．…（4分）
（ II）當(dāng)a＞0，g（x）=2ax³-（3-6a）x²-6x，x∈[0，1]…（6分）
g′（x）=6ax²-2（3-6a）x-6=6[ax²-（1-2a）x-1]，x∈[0，1]
令g′（x）=0，即ax²-（1-2a）x-1①，△=4a²+1＞0，…（8分）
設(shè)方程①的兩個(gè)根為x₁，x₂，由x₁，x₂由①式得x₁•x₂=-

2

a

＜0，不妨設(shè)x₁＜0＜x₂，．
當(dāng)0＜x₂＜1時(shí)，g（x₂）為極小值，所以g（x）在[0，1]上的最大值只能為g（0）或g（1）；
…（10分）
當(dāng)x₂≥1時(shí)，由于g（x）在[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為g（0），
所以在[0，1]上的最大值只能為g（0）或g（1），…（12分）
又已知g（x）在x=0處取得最大值，所以g（0）≥g（1）即0≥8a-9，解得
a≤

9

8

，又因?yàn)閍＞0，所以a∈（0，

9

8

]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．導(dǎo)數(shù)是由高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，是高中新增的內(nèi)容，每年必考，要引起重視．