Question

【題目】在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，如圖將沿折到的位置，使，點(diǎn)在上，且，如圖2．

求證：平面；

求二面角的正切值；

在線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，確定的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3） 為 的中點(diǎn).

【解析】

（法一）

（1）由題意可知，題圖中，易證，由根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得平面；

（2）三垂線法：由考慮在上取一點(diǎn)，使得，從而可得，所以平面，過作交于，連接，為二面角的平面角，在中求解即可；

（3）取中點(diǎn)，所以，又由題意，從而可得，所以有平面.

（法二：空間向量法）

（1）同法一；

（2）以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，易知平面的法向?yàn)?/span>，求平面的法向量，代入公式求解即可；

（3）由平面，所以，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可求出結(jié)果.

（1）證明：在題圖中，由題意可知，，為正方形

所以在題圖中，，，且四邊形是邊長為的正方形

因?yàn)?/span>，，所以平面

又平面，所以

又，所以平面

（2）在上取一點(diǎn)，使，連接

因?yàn)?/span>，所以

所以平面

過作交于，連接

則平面

所以

所以為二面角的平面角，

在中，，，，

即二面角的正切值為

（3）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面

理由如下：取的中點(diǎn)，連接交于

連接，

所以，又由題意

平面，平面

所以平面

即當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面

解法二：（1）同方法一

（2）如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系

，，，，，

易知平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為，且

由，得：

令，得：，；則

所以

所以

即二面角的正切值為

設(shè)存在，使得平面

設(shè)

所以，由平面

所以，所以

即，即為的中點(diǎn)