Question

【題目】已知圓C:，直線 ，過的一條動直線與直線相交于N，與圓C相交于P,Q兩點，M是PQ中點．

(1)當時，求直線的方程；

(2)設(shè)，試問是否為定值,若為定值,請求出的值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或 （2）

【解析】

（1）過A（﹣1，0）的一條動直線l．應當分為斜率存在和不存在兩種情況；當直線l與x軸垂直時，進行驗證．當直線與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），由于弦長，利用垂徑定理，則圓心C到弦的距離|CM|=1．從而解得斜率K來得出直線l的方程為；

（2）同樣，當l與x軸垂直時，要對設(shè)t=，進行驗證．當l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入圓的方程得到一個二次方程．充分利用“兩根之和”和“兩根之積”去找．再用兩根直線方程聯(lián)立，去找．從而確定t=的代數(shù)表達式，再討論t是否為定值．

(1) 當直線與軸垂直時,

易知符合題意;

當直線與軸不垂直時,

設(shè)直線的方程為,

由于,

所以由,

解得.

故直線的方程為或

(2)當與軸垂直時,易得,,又則

,故. 即

當的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,代入圓的方程得

.

則 ,

即, .

又由得,

則.

故.

綜上,的值為定值,且

解法二（幾何法）:

連結(jié),延長交于點，計算CA斜率知.又于,

故△∽△.于是有.

由得

故