已知圓A:(x+2)2+y2=32,圓P過定點(diǎn)B(2,0)且與圓A內(nèi)切.
(1)求圓心P的軌跡方程C;
(2)過Q(0,3)作直線l交P的軌跡C于M、N兩點(diǎn),O為原點(diǎn).當(dāng)△MON面積最大時(shí),求此時(shí)直線l的斜率.

解:(1)由題意,兩圓相內(nèi)切,故|PA|=4-|PB|,即|PA|+|PB|=4
又∵AB=4<4
∴動(dòng)圓的圓心P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓.
動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為
(2)解:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),l:x=m(y-3),直線與x軸的交點(diǎn)為A(-3m,0)
S△MON=|OA|•|y1-y2|
把x=m(y-3),代入橢圓方程,得m2(y-3)2+2y2-8=0,
即(m2+2)y2-6m2y-8+9m2=0,△=64-40m2>0,?m2
y1+y2=,y1y2=,
|y1-y2|==
∴S△AOB=|3m|==3,令t=,
所以S△AOB=,當(dāng)t=時(shí),即m2=時(shí)面積取得最大值.
此時(shí)直線的斜率為:
分析:(1)利用動(dòng)圓P與定圓(x+2)2+y2=32相內(nèi)切,以及橢圓的定義,可得動(dòng)圓圓心P的軌跡M的方程;
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),l:y=kx+3,通過S△MON的表達(dá)式求出△OAB的面積的最大值時(shí)直線l的斜率.
點(diǎn)評:本題考查圓的基本知識和軌跡方程的求法以及斜率的求法,解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用,此題有一定難度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓A:(x+2)2+y2=
25
4
和圓B:(x-2)2+y2=
1
4
,若圓P與圓A、圓B均外切,
(Ⅰ)求圓心P的軌跡方程;
(Ⅱ)延長PB與點(diǎn)P的軌跡交于另一點(diǎn)Q,若PQ的中點(diǎn)R在直線l:x=a(a≤
1
2
)上的射影C滿足:
PC
QC
=0,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓A:(x-2)2+y2=1,曲線B:6-x=
4-y2
和直線l:y=x.
(1)若點(diǎn)M、N、P分別是圓A、曲線B和直線l上的任意點(diǎn),求|PM|+|PN|的最小值;
(2)已知?jiǎng)又本m:(a-2)x+by-2a+3=0(a,b∈R)與圓A相交于S、T兩點(diǎn),又點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(a,b).
①判斷點(diǎn)Q與圓A的位置關(guān)系;
②求證:當(dāng)實(shí)數(shù)a,b的值發(fā)生變化時(shí),經(jīng)過S、T、Q三點(diǎn)的圓總過定點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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