已知幾何體A-BCDE的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.
(1)若幾何體A-BCDE的體積為16,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若a=1,求異面直線DE與AB所成角的余弦值;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使得二面角A-DE-B的平面角是45°,若存在,請(qǐng)求出a值;若不存在請(qǐng)說明理由.
分析:(1)由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED,且EC=BC=AC=4,BD=a,由幾何體A-BCDE的體積為16,構(gòu)造關(guān)于a的方程解方程可得答案.
(2)求異面直線所成的角,一般有兩種方法,
解一是幾何法,其基本解題思路是“異面化共面,認(rèn)定再計(jì)算”,即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中,結(jié)合余弦定理來求.過點(diǎn)B作BF∥ED交EC于F,連接AF,則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成角;
解二是向量法,以C為原點(diǎn),以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系分別求出異面直線DE與AB的方向向量代入向量夾角公式,可得答案.
(3)以C為原點(diǎn),以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面BDE的法向量和平面ADE的法向量根據(jù)二面角A-DE-B的平面角是45°,構(gòu)造關(guān)于a的方程,判斷方程是否有解可得答案.
解答:解:(1)由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED,
且EC=BC=AC=4,BD=a,
∵幾何體A-BCDE的體積為16,
V=
1
3
•4
(a+4)4
2
=16
,
解得a=2;
(2)解一:過點(diǎn)B作BF∥ED交EC于F,連接AF,
則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成角,
在△BAF中,AB=4
2
,BF=AF=
16+9
=5
,
cos∠ABF=
BF2+AB2-AF2
2BF•AB
=
2
2
5

即異面直線DE與AB所成角的余弦值為
2
2
5

解二:以C為原點(diǎn),以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4),
DE
=(0,-4,3)
,
AB
=(-4,4,0)

cos<
DE
,
AB
>=
DE
AB
|
DE
|•|
AB
|
=-
2
2
5

又異面直線DE與AB所成角為銳角,
可得異面直線DE與AB所成角的余弦值為
2
2
5

(3)以C為原點(diǎn),以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,a),E(0,0,4),
平面BDE的法向量
n1
=(1,0,0)

平面ADE的法向量
n2
=(x,y,z)
,
DE
=(0,-4,4-a)
AD
=(-4,4,a)
,
n2
DE
=0,
n2
AD
=0
,
可得
n2
=(-1,
4-a
4
,1)

cos<
n1
,
n2
>=
n1
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
2
2

∵a=4.
此時(shí),與正視圖為直角梯形條件不符,所以舍去,
因此不存在實(shí)數(shù)a,使得二面角A-DE-B的平面角是45°.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合應(yīng)用,由三視圖求面積,異面直線及其所成的角,難度比較大,熟練掌握幾何法及向量法求夾角的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵.
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已知幾何體A-BCD的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.
(I )求此幾何體的體積V:
(II)若F是AE上的一點(diǎn),且EF=3FA求證:DF∥平面ABC
(III)試探究在棱DE上是否存在點(diǎn)使得AQ丄CQ,并說明理由.
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已知幾何體A-BCD的三視圖如圖所示,其中每個(gè)圖形都是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,則該幾何體的表面積為( )

A.
B.
C.
D.

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