Question

對(duì)任意定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），按如右程序框圖構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器．定義f(x)=

x-1

x+3

，x_n+1=f（x_n）
（1）若輸入x1=-

5

3

，則由此數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)數(shù)列{x_n}，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)．
（2）此數(shù)列發(fā)生器能產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)數(shù)列嗎？如能，請(qǐng)寫(xiě)出輸入的初始數(shù)據(jù)x₁；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若輸入的初始數(shù)據(jù)x₁=1，試猜想此數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生的數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用 f(x)=

x-1

x+3

，x1=-

5

3

及工作原理，注意函數(shù)的定義域，直接可求得數(shù)列{x_n}的只有三項(xiàng)；
（2）要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，則有 x=

x-1

x+3

，從而求出相應(yīng)的初始數(shù)據(jù)x的值；
（3）計(jì)算：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，…再猜想：xn=

2

n

-1．

解答：解：（1）x1=-

5

3

，
∴x2=

- 5 3 -1

- 5 3 +3

=-2，
x3=

-2-1

-2+3

=-3，
∴數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)為：-

5

3

，-2，-3（3分）
（2）若要產(chǎn)生常數(shù)列，則x=

x-1

x+3

，
得x=-1（7分）
∴此數(shù)列發(fā)生器能產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)數(shù)列，輸入的初始數(shù)據(jù)x₁=-1；
（3）計(jì)算：

x1=1= 2 1 -1，x2=0= 2 2 -1，x3=- 1 3 = 2 3 -1， x4=- 1 2 = 2 4 -1，x5=- 3 5 = 2 5 -1

（10分）
猜想：xn=

2

n

-1．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與算法的簡(jiǎn)單結(jié)合，應(yīng)搞清算法原理，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化，有一定的難度．