Question

10．對(duì)于不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$＜n+1（n∈N^*），某學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，$\sqrt{{1}^{2}+1}$＜1+1，不等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)不等式成立，即$\sqrt{{k}^{2}+1}$＜k+1，則當(dāng)n=k+1時(shí)，$\sqrt{（k+1）^{2}+1}$=$\sqrt{{k}^{2}+2k+2}$$＜\sqrt{{k}^{2}+2k+2+2k+2}$=$\sqrt{（k+2）^{2}}$=（k+1）+1；所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$＜n+1成立．
上述證明中（　　）

• A． n=1驗(yàn)證不正確
• B． 歸納假設(shè)不正確
• C． 從n=k到n=k+1的推理不正確
• D． 證明過(guò)程完全正確

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的步驟是：第一步，驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．關(guān)鍵是第二步中要充分用上歸納假設(shè)的結(jié)論

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=$\sqrt{{1}^{2}+1}$=2，右邊=1+1=2，故當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，
假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)不等式成立，即$\sqrt{{k}^{2}+1}$＜k+1，即k²+1＜（k+1）²，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，$\sqrt{（k+1）^{2}+1}$=$\sqrt{{k}^{2}+2k+2}$＜$\sqrt{（k+1）^{2}+2k+1}$=$\sqrt{（k+1）^{2}+2（k+1）+1-2}$=$\sqrt{（k+2）^{2}-2}$＜$\sqrt{（k+2）^{2}}$=k+2=（k+1）+1，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，
綜上所述，不等式$\sqrt{{n}^{2}+1}$＜n+1（n∈N^*），
由此可以判斷從n=k到n=k+1的推理不正確，理由是，沒(méi)有用上假設(shè)，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的思想，應(yīng)用中要注意的是用上歸納假設(shè)的結(jié)論，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．屬于中檔題．