Question

16．運行如圖的程序，如果輸入的m，n的值分別是24和15，記錄輸出的i和m的值．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（i-4，m），圓C的圓心在直線l：y=2x-4上．
（1）若圓C的半徑為1，且圓心C在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點M，使∠OMA=90°，求圓C的半徑r的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得，i=4，m=3，即A（0，3），
（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$得圓心C為（3，2），則圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=1，顯然切線的斜率一定存在，設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0，由點到直線的距離公式，可得到k的值，則所求圓C的切線方程可求；
（2）依題意，點M在以OA為直徑的圓上，其圓心為D$（0，\frac{3}{2}）$，半徑為$\frac{3}{2}$，點M也在圓C上，得到點M是圓D和圓C的公共點，又圓C的圓心在直線l：y=2x-4上，要使圓C的半徑最小，只須過點D作直線l的垂線，以垂足為圓心C并與圓D外切時的圓C的半徑r最小，由點D到直線l的距離即可得圓C的半徑r最小值．

解答 解：根據(jù)題意可得，i=4，m=3，∴A（0，3）．…（2分）
（1）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$得圓心C為（3，2），
∵圓C的半徑為1，∴圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=1．
顯然切線的斜率一定存在，設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0，
則$\frac{{|{3k-2+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，即$|{3k+1}|=\sqrt{{k^2}+1}$，∴2k（4k+3）=0
∴k=0或者$k=-\frac{3}{4}$，
∴所求圓C的切線方程為：y=3或者$y=-\frac{3}{4}x+3$，
即y=3或者3x+4y-12=0．…（7分）
（2）依題意，點M在以OA為直徑的圓上，其圓心為D$（0，\frac{3}{2}）$，半徑為$\frac{3}{2}$，
點M也在圓C上，∴點M是圓D和圓C的公共點，
又圓C的圓心在直線l：y=2x-4上，∴要使圓C的半徑最小，只須過點D作直線l的垂線，以垂足為圓心C并與圓D外切時的圓C的半徑r最小，
∵點D到直線l的距離d=$\frac{{|2•0-\frac{3}{2}-4|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^1}}}}=\frac{{11\sqrt{5}}}{10}$，
∴圓C的半徑r最小值為$\frac{{11\sqrt{5}}}{10}-\frac{3}{2}=\frac{{11\sqrt{5}-15}}{10}$．…（12分）

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，考查了圓的切線方程的求法以及點到直線的距離公式，是中檔題．