Question

已知在R上的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，+∞）時，f(x)=

2x

2x+1

，下列說法錯誤的是（　�。�

• A．f(-1)=-

  2

  3

  ，f(0)=0
• B．x∈（-∞，0）時，f(x)=-

  1

  2x+1

• C．若y=f（x）-λ在R上存在零點，則λ∈[-1，-

  1

  2

  )∪(

  1

  2

  ，1]∪{0}
• D．y=f（x）在區(qū)間（-1，0]上不是單調(diào)遞減函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)題目給出的奇函數(shù)在x∈（0，+∞）時的解析式，求出函數(shù)在x=0和x∈（-∞，0）的解析式，即可判斷選項B，然后求出f（-1）的值可判斷選項A，運用函數(shù)單調(diào)性得定義可判斷選項D，對于選項C，實則是求函數(shù)f（x）在R上的值域．

解答：解：因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，
設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），則f（x）=-f（-x）=-

2-x

2-x+1

=-

1

2x+1

．由此判斷選項B正確；
而f（-1）=-

1

2-1+1

=-

2

3

，所以選項A正確；
因為當x∈（-∞，0）時，2^x∈（0，1），2^x+1∈（1，2），-

1

2x+1

∈(-1，-

1

2

)；當x=0時，f（x）=0；當x∈（0，+∞）時，2^x＞1，0＜

1

2x

＜1，

2x

2x+1

∈(

1

2

，1)．
所以，若y=f（x）-λ在R上存在零點，則λ∈(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)∪{0}，選項C中多取了-1和1，所以不正確；
設(shè)-1＜x₁＜x₂≤0，則f(x1)-f(x2)=-

1

2x1+1

+

1

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
因為-1＜x₁＜x₂≤0，所以2x1-2x2＜0，所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（-10，]上是增函數(shù)，不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以選項D正確；
所以說法錯誤的只有選項C．
故選C．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，考查了函數(shù)值域的求法，考查了函數(shù)單調(diào)性的定義，解答此題的關(guān)鍵是求出函數(shù)在R上的解析式，此題為中檔題．