【題目】在如圖所示的五面體中, , , ,四邊形為正方形,平面平面.
(1)證明:在線段上存在一點(diǎn),使得平面;
(2)求的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)2.
【解析】試題分析:(1)取的中點(diǎn),連接,由正方形的性質(zhì)可證明四邊形為平行四邊形,故,由線面平行的判定定理可得平面,點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn);(2)由平面平面及可得平面,可得,在中,由余弦定理,得,由(1)得,根據(jù)勾股定理可得.
試題解析:(1)取的中點(diǎn),連接;
因?yàn)?/span>, ,
,所以,又四邊形是正方形,所以, ,
故四邊形為平行四邊形,故,
因?yàn)?/span>平面, 平面,
所以平面.
(2)因?yàn)槠矫?/span>平面,四邊形為正方形,所以,
所以平面.
在中,因?yàn)?/span>,故,又,
所以由余弦定理,得,由(1)得
故.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理,屬于難題. 證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了鼓勵(lì)學(xué)生熱心公益,服務(wù)社會(huì),成立了“慈善義工社”.2017年12月,該!按壬屏x工社”為學(xué)生提供了4次參加公益活動(dòng)的機(jī)會(huì),學(xué)生可通過網(wǎng)路平臺(tái)報(bào)名參加活動(dòng).為了解學(xué)生實(shí)際參加這4次活動(dòng)的情況,該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表,其中“√”表示參加,“×”表示未參加.
(Ⅰ)從該校所有學(xué)生中任取一人,試估計(jì)其2017年12月恰參加了2次學(xué)校組織的公益活動(dòng)的概率;
(Ⅱ)若在已抽取的100名學(xué)生中,2017年12月恰參加了1次活動(dòng)的學(xué)生比4次活動(dòng)均未參加的學(xué)生多17人,求的值;
(Ⅲ)若學(xué)生參加每次公益活動(dòng)可獲得10個(gè)公益積分,試估計(jì)該校4000名學(xué)生中,2017年12月獲得的公益積分不少于30分的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,(其中, 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ……).
(1)令,若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,設(shè)為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù), ,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC是圓O的直徑,點(diǎn)B在圓O上,∠BAC=30°,BM⊥AC于點(diǎn)M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)證明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,直線與直線垂直,橢圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的弦.若弦的中點(diǎn)分別為,證明:直線恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于集合,定義了一種運(yùn)算“”,使得集合中的元素間滿足條件:如果存在元素,使得對(duì)任意,都有,則稱元素是集合對(duì)運(yùn)算“”的單位元素.例如: ,運(yùn)算“”為普通乘法;存在,使得對(duì)任意,都有,所以元素是集合對(duì)普通乘法的單位元素.
下面給出三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“”:
①,運(yùn)算“”為普通減法;
②{表示階矩陣, },運(yùn)算“”為矩陣加法;
③(其中是任意非空集合),運(yùn)算“”為求兩個(gè)集合的交集.
其中對(duì)運(yùn)算“”有單位元素的集合序號(hào)為( )
A. ①②; B. ①③; C. ①②③; D. ②③.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 為圓柱的母線, 是底面圓的直徑, 是的中點(diǎn).
(Ⅰ)問: 上是否存在點(diǎn)使得平面?請(qǐng)說明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若平面,假設(shè)這個(gè)圓柱是一個(gè)大容器,有條體積可以忽略不計(jì)的小魚能在容器的任意地方游弋,如果小魚游到四棱錐外會(huì)有被捕的危險(xiǎn),求小魚被捕的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓經(jīng)過為坐標(biāo)原點(diǎn),線段的中點(diǎn)在圓上.
(1)求的方程;
(2)直線不過曲線的右焦點(diǎn),與交于兩點(diǎn),且與圓相切,切點(diǎn)在第一象限, 的周長(zhǎng)是否為定值?并說明理由.
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