【題目】已知a+b=1,對a,b∈(0,+∞), + ≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立,
(1)求 + 的最小值;
(2)求x的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵a>0,b>0且a+b=1
∴ = ,
當且僅當b=2a時等號成立,又a+b=1,即 時,等號成立,
故 的最小值為9.
(2)解:因為對a,b∈(0,+∞),使 恒成立,
所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9,
當 x≤﹣1時,2﹣x≤9,∴﹣7≤x≤﹣1,
當 時,﹣3x≤9,∴ ,
當 時,x﹣2≤9,∴ ,∴﹣7≤x≤11.
【解析】(1)利用“1”的代換,化簡 + ,結(jié)合基本不等式求解表達式的最小值;(2)利用第一問的結(jié)果.通過絕對值不等式的解法,即可求x的取值范圍.
【考點精析】掌握基本不等式在最值問題中的應(yīng)用是解答本題的根本,需要知道用基本不等式求最值時(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且f(x+2)為偶函數(shù),f(4)=1,則不等式f(x)<ex的解集為( )
A.(﹣2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
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【題目】已知拋物線的焦點為拋物線上存在一點到焦點的距離等于3.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點的直線與拋物線相交于兩點(兩點在軸上方),點關(guān)于軸的對稱點為,且,求的外接圓的方程.
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【題目】如圖,已知圓O是△ABC的外接圓,AB=BC,AD是BC邊上的高,AE是圓O的直徑.過點C作圓O的切線交BA的延長線于點F.
(1)求證:ACBC=ADAE;
(2)若AF=2,CF=2 ,求AE的長.
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【題目】已知函數(shù)
(1) 判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明;
(2)若存在實數(shù)使函數(shù)是奇函數(shù),求;
(3)對于(2)中的,若,當時恒成立,求的最大值.
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【題目】為了保護環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟,某單位在國家科研部門的支持下,進行技術(shù)攻關(guān),采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為:y=x2-200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.
該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣2|x|.
(1)求不等式f(x)≤﹣6的解集;
(2)若存在實數(shù)x滿足f(x)=log2a,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知在區(qū)間上的值域.
(1)求的值;
(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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