已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點,且與以點A(2,0)為圓心,1為半徑的圓相切,雙曲線S的一個頂點A′與點A關(guān)于直線y=x對稱,設直線l過點A,斜率為k.如圖.

(1)求雙曲線S的方程;

(2)當k=1時,在雙曲線S的上支上,求點B,使其與直線l的距離為.

解:(1)設雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0).

∵A(,0)關(guān)于直線y=x對稱的點為A′(0,),

∴a=2,漸近線方程為y=±x.

由y=x與圓A:(x-)2+y2=1相切得.

故雙曲線方程為y2-x2=2.

(2)若B(x,)是雙曲線S的上支上到直線l:y=x-2的距離為的點,

即

∴|-x|=2,+-x=2.

移項平方解得x=,=2,

∴點B的坐標是(,2).

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：中學教材標準學案　數(shù)學　高二上冊 題型：044

已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點，且與以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點與點A關(guān)于直線y＝x對稱．設直線l過點A，斜率為k．

(1)求雙曲線S的方程；

(2)當k＝1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為；

(3)當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點B的坐標．如圖．

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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點，且與以點A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點A′與點A關(guān)于直線y=x對稱.設直線l過點A，斜率為k.

（1）求雙曲線S的方程；

（2）當k=1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為；

（3）當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點B的坐標，如圖.

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科目：高中數(shù)學 來源：高考零距離　二輪沖刺優(yōu)化講練　數(shù)學 題型：044

如圖所示，已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點，且與以點A(，0)為圓心、1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點與點A關(guān)于直線y＝x對稱．設直線l過點A，斜率為k．

(1)

求雙曲線S的方程

(2)

當k＝1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為

(3)

當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點B的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點且與以點A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點A′與A關(guān)于直線y=x對稱，設直線l過點A，且斜率為k.

（1）求雙曲線S的方程；

（2）當k=1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為；

（3）當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點B的坐標.

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